3歳の子供、咳と鼻水、時より湿疹がでます

乳幼児/女性 - 2023/09/09

3歳の子供です。
6日程前から少し咳が出始めました。
徐々に咳も多くなり鼻水も出るようになりました。
ただ熱はなく食欲も元気もあります。
咳が出始めてから3日目の朝、痒いと言って両足の太ももから膝のあたりを掻き出すと湿疹(一つ一つの湿疹の大きさは数ミリから1センチ程)が出てきました。掻いていると湿疹が広がっているようにも思えた為、保冷剤をガーゼで巻いたもので冷やし子供用のムヒを塗ると徐々に症状は落ち着き湿疹も消えました。ただその日以降、時より同じような湿疹が出ます。出るタイミングや頻度はバラバラですが、まず起きて30分以内には1回は出ている様です。また顔や胴体には出ず足や腕だけのように感じます。
以上のような症状なのですが、これは何かのウイルスまたは細菌に感染したことによるものなのでしょうか？
一つ、ここ最近の日常生活で変化があったこととしてあげるならば、もともと便秘で小児科に通院しているのですが、咳が出始めた前日よりこれまでの酸化マグネシウムよりモビコールに薬が変わりました。
それも何か影響があるのでしょうか？
ただ、子供の咳や鼻水が出て以降、他の家族にも同様の風邪症状が出てきている為、普通の風邪なのかなとも思ってはいます。(他の大人には湿疹の症状はありません。)
何か教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願い致します。

分かりにくいですが、湿疹が出た時の写真を載せております。