痰がらみの咳が続く。耳鼻科か呼吸器科内科かどっちに行くべきか

40代/女性 - 2023/09/12

8月上旬に風邪をこじらせ呼吸器科内科で肺炎と診断されました。持病として咳喘息があり、リルベアとモンテルカストをいつも飲んでいます。

肺炎と診断され、抗生剤1週間（ラスビック）と咳止めと解熱剤を処方されました。
その後、抗生剤（ロキシスロマイシン）1週間分と咳止めとカロナール、吸入をリルベアからテリルジーに変更になりました。

飲み切った後イマイチよくならず、またテリルジーでうまく吸入ができなかった為、再びラスビックと咳止めとカルボシステインとカロナールを処方・吸入もリルベアに戻してもらいました。

そして、それを飲み切った後、しばらくするとまた鼻がツーンとする感じや、痰に色がついている感じ、喉に異物感？で咳がでてきました。

受診すると、カルボシステインとエピナスチンを処方していただきました。
様子を見ているのですが、痰がらみの咳が良くなった気はあまりなく咳のしすぎで両脇腹も痛みだし、辛いです。
鼻からの咳のような気がするので呼吸器内科よりも耳鼻科へ行った方がいいのでしょうか？
また、上記の薬を服用していますが脇腹が痛くて辛い場合市販の痛み止めを飲んでも大丈夫でしょうか？