８歳の娘の高熱と抗生剤投与について

10歳未満/女性 - 2023/10/19

８歳の娘ですが、この月曜から発熱しました。経過は以下のとおりです。
・月曜日、火曜日は３７度～３８度の間ぐらい
・水曜未明に３８度半ば。昼は３７度台程度、夜（19時）に３９度
・本日木曜未明（２時半）３９．９℃。２１時３７．６度、２２時半３８度で、寝転んでテレビを見ていました。
・咳はときどき出るぐらいです。

本日医院を受診し、検査は新型コロナ、インフルエンザについて行いましたが陰性でした。ちょっとした菌だろう、熱が長引いているため抗生剤飲んだほうがいい、とのことでクラリスロマイシンDSが処方されました。

医師の経験から細菌感染の可能性が高いと考えたのでしょうが、一方で数日遅れて発熱した兄弟（上記娘より症状も軽く、同じ風邪ではないかもと医師も言っていました）にもクラリスロマイシンDSが処方され、安易な処方でないかとの不安もあります。その兄弟は受診時も今も普通に起きて生活できる状態です。

お聞きしたいのは、少し熱はあったものの、しんどそうにしていない兄弟には抗生物質を飲ませないでも大丈夫でしょうか。元気でも細菌感染が考えられる場合、飲ませておいた方がいいのでしょうか。
また、上記娘はまだ熱があり飲ませるべきかもしれないとも思いますが、コロナ・インフルは否定できたものの、ウイルスか細菌かは血液検査等せずともある程度わかるのでしょうか。（本日夜の分から処方されていますが、まだ飲ませてはいません）