2歳の子供、インフルエンザで咳だけ治らない

乳幼児/男性 - 2023/10/20

喘息持ちの2歳の子供ですがインフルエンザにかかった後、咳だけがなかなか治りません。
喘息の薬として4ヶ月前から毎日、ブランルカストと吸入薬のパルミコート0.5mgを朝晩で服薬しています。
下記にてこれまでの経過をまとめました。

木曜　発熱（40度前後）。熱性痙攣起こす。
金曜　発熱。（39度前後）インフルエンザと診断。タミフル５日分、吸入メプチン、カルボシステイン1週間分処方。
土曜　午前中は解熱、夕方から再発熱（39度前後）
日曜　発熱（38度前後）。激しい咳。再度受診して、麻黄湯を３日分処方。胸の音は問題ないとのこと。
月曜　解熱。サラサラの鼻水。常に激しい咳。機嫌が悪い。
火曜　サラサラの鼻水。常に激しい咳。機嫌が悪い。
水曜〜金曜　多少マシになるものの、5分に1回は痰の絡んだ咳が出る。就寝時は一晩に4、5回くらい咳が止まらなくなる。機嫌のいい時間も時々ある。

火曜日まで四六時中咳がひどく、全く眠れず食べられず喋ることもできずぐったりしていました。
木曜日からは多少マシになってきたものの咳が治る兆しがなく続いています。

酸素飽和度を測っても問題なくゼエゼエすることもないので、喘息の発作は起きてなさそうです。
インフルエンザ後の咳は一体いつまで続くのでしょうか。。
喘息でかかりつけの小児科で経過を見てもらっていますが、一度耳鼻科にもかかれば他によい薬を処方していただける可能性もあるのでしょうか。

インフルエンザとの長い闘いに疲弊してきました。アドバイスをいただけると嬉しいです。