鼻水と咳で抗生剤処方。細菌感染かは調べていないのに本当に飲んでいいのでしょうか。

10歳未満/男性 - 2023/10/26

8歳の子どもです。
元々ハウスダストアレルギーによる鼻炎があり就寝中の鼻詰まりがひどく、総合病院でミティキュアダニ舌下錠による治療を今年からはじめています。

秋になってから、よくなっていた鼻詰まりがまた出てきました。少し詰まってきた位だったのですが、最近になって夜中にたんの絡む咳をするようになってきました。徐々に朝起きてからも咳が出て、日中も時々あります。鼻水もひどくなってきたようです。
担当の先生に診ていただいたところ、アレルギー症状ではなく軽い風邪だろうとのことでした。鼻の中の腫れはひどくなく喉も赤くない。鼻喉をみて胸の音を聞いていただいただけです。
そこで処方されたのが、抗生剤です。

かかりつけの小児科(ミティキュア治療とは別の病院です)で、「抗生剤は細菌感染がわかるときしか使わない。風邪で抗生剤はダメだ！」と過去に言われていたので、今回飲ませる必要があるのかと心配になりました。細菌の検査はされていません。担当の先生には、直接聞くことはできませんでした。

今回は、抗生剤の必要な状態なのでしょうか？アレルギーがあるからで処方されたのでしょうか？
先生方のご意見を伺いたいです。よろしくお願いいたします。