息子の熱が下がりません

10歳未満/男性 - 2023/12/08

4歳の息子の熱が下がりません。
時系列で失礼します。

4日：鼻声になる
5日：鼻詰まりがひどいので、夕方病院へ
薬を処方してもらうが、夜熱が出始める
※夜中に体が熱かったが、朝まで様子を見ました。
6日：39度の熱。かかりつけの小児科が休みだったのと、息子自体は元気なため、様子を見る。終日熱は下がらなかった。
7日：解熱。午後からまた少しずつ体温が上がり始める。予約が取れず、病院を受診できず。夕方には39度に。息子は元気。
せきが出始める。
8日：解熱。午前中に病院へ。
追加の薬を処方してもらう。
昨日同様、午後から体温が上がり始める。
夜、コロナ、インフルの抗原検査をやっている病院へいき、陰性とのこと。
現在39.4度。息子は元気。
少しめやにが出始めている。
検査した病院で3日も熱が下がらないのはおかしい。明日も下がらないようであれば、大きな病院へ行くようにとのことで、紹介状をもらった。

これだけ熱が下がらないことが初めてなので、とても心配です。
せきも結構出ています。
ただの風邪なのでしょうか？
プール熱も流行しているとのことですが、上記のような症状は該当しますでしょうか？
一才の息子もいるため、うつらないようにと気をつけてはいますが、何せお兄ちゃんが大好きなため、かなり近づいてしまいます…

明日の朝、解熱していたとしても紹介状の病院へ行くべきでしょうか？
現在の症状から予測できる病気はありますでしょうか？
回答よろしくお願いします。