生後3ヶ月の娘、昨日から38.5℃の発熱と咳、鼻水、くしゃみ

乳幼児/女性 - 2024/03/02

生後３ヶ月の娘が、少し前からくしゃみをしていたのですが、昨日日中からくしゃみがひどくなり鼻水と咳が出てきて、夜から発熱し最高38.5度、本日朝にの時点で37.7度で小児科を受診しました。血液検査の結果、白血球13.8、CRP（炎症反応）1.4で細菌感染疑いということで抗生物質と咳を楽にする薬を5日分処方され、様子を見るよう医師から言われました。
帰ってからネットで調べると生後３ヶ月までは発熱することは稀で細菌性感染だと髄膜炎や敗血症の可能性もあると書いてあり心配になっていますが、抗生物質で様子見で問題ないのでしょうか。今は37.0度くらいまで解熱しています。ミルクの飲みはいつもの半分くらいです。機嫌は悪くはなく、いつもよりよく寝ます。
他に気になる点として、２週間前にワクチン二回目を接種し、その後も38.5度まで発熱し翌朝には解熱しました。ワクチン後から血便（下痢、粘液が出ることも多い）も出ていて、これも医師に相談済みで様子見です。ご参考まで画像を添付します。
今回はワクチンとは全く別の感染でしょうか。

また、今は乾いた咳をしているのですが、この咳止めなども５日間飲んだ方が良いのでしょうか。
（処方：抗生物質バナンドライシロップ５％と整腸剤ミヤBM細粒、痰を出しやすくする薬カルボシステインDS50％、アンブロキソール塩酸塩DS小児用1.5%）