子供の咳と、重複受診について

10歳未満/男性 - 2024/04/11

3歳子供のことです。
風邪のたびに1ヶ月ほど咳が続きます。

今回も初回受診した際のアスベリン、カルボシステインが効かずにどんどん酷くなっています。咳き込んで嘔吐、夜中の咳もひどいです。
再度受診し少し強い薬を出していただきました。(この小児科では毎回だんだん強い薬にして最終的に抗生剤)

翌日たまたまアレルギー科のある小児科の予約が取れたため受診しましたが、前日に別の病院を受診していたことを言い出せず終わりました。
結局、喘息検査はできない、様子を見てくださいとのことで、前日の病院と同じ薬を処方されました。

1.長引く咳 については毎回様子をみるしかないのでしょうか？
咳き込んでいるときに胸がケンケンいっていますが、内診は問題ないとのこと。
過去に別の病院で、咳やアレルギーに効く薬をだしてもらい、長びかず済んだこともあります(たまたまかもしれませんが)。ただそこの病院は発熱なくとも毎回コロナ検査が必須のため子供が嫌がります。
子供の母である私自身、小児喘息→咳喘息でステロイド吸入しており遺伝では？と心配しています。

2.重複受診が良くないと知らずにおり反省しています。
今回の処方薬はもらわず問題ありませんか？
あとからレセプトと合わずに問題になるのでしょうか？