2歳の子供、鼻水での肌荒れ？

乳幼児/男性 - 2024/04/24

2歳8ヶ月の子供ですが、4/17から黄色い鼻水がダラダラ出続けています。
4/18に37.9℃の熱があり小児科を受診し、カルボシステインDS50%「タカタ」0.6gとレボセチリジン塩酸塩DS0.5%「タカタ」を処方されました。
翌日には平熱に戻り、薬は毎日欠かさず飲んでいましたが鼻水は一向に良くならないので、4/23に耳鼻科を受診したところフェキソフェナジン塩酸塩DS 5%「トーワ」とオゼックス細粒小児用15% 150mgを処方されました。

鼻水の量は少し減りましたが、気になるのは肌荒れです。4/18頃から鼻の下が荒れ始め、だんだん口周りや頬にまで広がってきています。鼻の下は特にジュクジュクで、膿？なのか黄色っぽくなってきています。
耳鼻科でワセリンを塗るように言われたので昨日から塗っています。
これは鼻水による肌荒れなのでしょうか？

関係あるか分かりませんが、今日下半身(太もも、お尻、おちんちん)にもポツポツ発疹が見られました。
また、これも関係あるか分かりませんが4/7に顔面から転んで鼻と鼻の下を怪我しました。鼻水が出始めた頃にはもうほとんど治っていたのですが、もしかしたらバイ菌が入ったのか？とも思いました。

このまま耳鼻科でもらった薬を飲み続け、ワセリンを塗っていれば良くなりますか？
それとも、新たに皮膚科で塗り薬など処方してもらった方がいいのか…
小児科で検査とかしてもらった方がいいのか…
とても悩んでいます。
どうするべきか、ご回答よろしくお願いいたします。