2歳9ヶ月の息子、咳がずっと治らない

乳幼児/男性 - 2025/01/09

息子の咳がずっと治りません。
1ヶ月半ほど前から風邪(鼻水、咳)をひいては治りかけの時にまたひく…を繰り返しており、
その度に風邪薬(メジコン、カルボシステイン、アンブロキソールの配合薬)とモンテルカストをいただき飲んでいます。
鼻水はすぐ良くなるのですが、咳は完全にはなくならないうちにまた次の風邪を引く…というような感じです。

風邪薬は飲みきり、モンテルカストだけまだ服用している状態で
10日ほど前からまた咳がひどくなる、鼻水が出てきたため、数日前にまた受診したところ
再度同じ風邪薬と追加でモンテルカスト(現在の分を飲み切った後の分)を処方されました。

鼻水は軽減されたのですが、今回は咳がよくならずむしろ悪化しているように思えます。
・寝ている間、明け方、走った後等にだけ出ていた咳が、日中も出るようになった。
・明け方の咳、走った後の咳がどんどん酷くなる。酷い時は10分くらいゲホゲホしている。痰の絡んだ咳と空咳がまじっている。

熱は稀に微熱(37.5℃程度)が2日くらい続くだけですぐ下がる。食欲はあり元気です。

１　子供の咳は長引くとは思いますが、良くなったり悪化したりを1ヶ月半程続いてるのですがよくあることでしょうか。
２　咳喘息の可能性はありますでしょうか。(肺炎の可能性は小児科の先生に否定されました)
３　すこし症状の落ち着いたときもモンテルカストを飲み続けていて、
もう1ヶ月半程になります。この薬は長期で飲んでいて問題はないでしょうか。
４　セカンドオピニオンを考えていますが、別の小児科か耳鼻科かどちらがよろしいのでしょうか。

お忙しいところ恐れ入りますが
よろしくお願いいたします。