1ヶ月以上続く咳について

10歳未満/女性 - 2025/09/13

8歳の女の子が、1ヶ月以上前から咳が続いております。この子の体の中で、どういうことが起こっていて、こんなに長引いているのかが知りたいです。

8/3：発熱（1回目）
8/4：解熱（1回目）
8/6：鼻水（黄色）が出始める。
8/7：咳が始まる。
8/9：痰が絡んだ咳で嘔吐し始める。
　　 発熱（2回目）
8/10：解熱（2回目）
　　　痰が絡んだ咳が苦しそうだったので、　休日診療所を受診。　
　　　クラリス錠50小児用や去痰剤などが
　　　処方される。
8/10（夜）：発疹が足の甲、脚、腕などに現
　　　れる（写真添付）。
　　　クラリス以外の薬は過去に飲んだこ
　　　とがあるため、クラリスによる薬疹
　　　と思い、飲むのを中止。
8/12：病院受診。去痰剤、咳止め、
　　　アレルギーの薬を処方される。
8/20：咳がまだひどかったため、病院受診。
　　　聴診の結果、喘息の感じではなさそう
　　　とのこと。鼻水（黄色）が未だに出て
　　　いたため、抗生剤が処方された。
　　　クラリスは発疹が出て飲めないため、
　　　ミノマイシンが処方された。
8/30：鼻水（黄色）も出なくなり、咳も少し
　　　ずつマシになっていたが、まだ痰の絡
　　　んだ咳で苦しそうだったので、薬をも
　　　らいに再受診。
9/11：咳が悪化。朝1回、夜中4回、咳き込ん
　　　で苦しそうに吐くようになったため、
　　　再受診。先生は、百日咳だったら怖い
　　　が、クラリスが飲めない。ただ百日咳
　　　はあまり鼻水の症状は出ないし…ただ
　　　咳が長引いてて確かにひどい…とのこ
　　　とで、ベタメゾン錠0.5mgを処方され
　　　た。薬飲み始めて3日後に、まだ咳がひ
　　　どいようだったら再受診してくださ
　　　い、とのことだったが、3日後にようや
　　　く咳き込んで吐く回数も減り、咳もだ
　　　いぶ落ち着いた。
　　　子供も「ゆっくり寝れた」と言ってい
　　　た。

これまで風邪等をひいたときは、最後痰が絡んだ咳に苦しめられるのですが、今回のように1ヶ月以上も咳が続き、良くならないのは初めてです。子供の体の中でどういうことが起きて、このように長引いているのか、わかる範囲で教えていただきたいです。
よろしくお願いします。