小児喘息疑いの9歳、咳が止まりません

10歳未満/男性 - 2025/11/21

9才の子供のことです。
10月中旬から咳が出始め
かかりつけの小児科、耳鼻科受診もあまり良くならないので
11月1日呼吸器内科受診し
アドエア吸入
モンテルカスト
を服用して、20日経ちました。
1番ひどい時からは落ち着きましたが
まだ朝晩痰が絡んだ咳を咳き込みます。
日中も少し出ています。
寝ている時は出ません。

風邪？と思い耳鼻科受診するも
風邪ではなさそうとのことで
薬は出ませんでした。

10月末にした百日咳、マイコプラズマ肺炎の検査も陰性でした。
発熱はありません。
1ヶ月近くも咳をしているのですが、喘息はこのようなものですか？
ほかに考えられる病気はありますか？
他にした方がいい検査などはありますか？
この時期の咳って周りの子も嫌だろうな、と思うけれど休ませるわけにはいかないし…悩んでいます。
発作では無い喘息で学校欠席することもあるんでしょうか？

どうにかしてあげたいのですが
何をしたらいいかご教示ください